Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Với tóm lược lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác sách Kết nối học thức hoặc nhất, cụ thể sẽ canh ty học viên lớp 11 nắm rõ kỹ năng và kiến thức trọng tâm, ôn luyện nhằm học tập đảm bảo chất lượng môn Toán 11.

Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Quảng cáo

Bạn đang xem: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Lý thuyết Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1. Góc lượng giác

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác

– Trong mặt mày bằng phẳng, mang lại nhì tia Ou, Ov. Xét tia Om nằm trong phụ thuộc mặt mày bằng phẳng này. Nếu tia Om xoay quanh điểm O, bám theo một chiều chắc chắn kể từ Ou cho tới Ov, thì tớ phát biểu nó quét tước một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

– Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác lập khi tớ hiểu rằng vận động con quay của tia Om kể từ tia đầu Ou cho tới tia cuối Ov (H.1.3). Ta quy ước: Chiều con quay ngược với chiều con quay của kim đồng hồ đeo tay là chiều dương, chiều con quay nằm trong chiều kim đồng hồ đeo tay là chiều âm.

Khi tê liệt, nếu như tia Om con quay theo hướng dương trúng một vòng tớ phát biểu tia Om con quay góc 360°, con quay trúng 2 vòng tớ phát biểu nó con quay góc 720°; con quay theo hướng âm nửa vòng tớ phát biểu nó con quay góc –180°, con quay theo hướng âm 1,5 vòng tớ phát biểu nó con quay góc –1,5.360° = –540°, …

Quảng cáo

Khi tia Om con quay góc α° thì tớ phát biểu góc lượng giác nhưng mà tia tê liệt quét tước nên sở hữu số đo α°. Số đo của góc lượng giác sở hữu tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ (Ou, Ov).

– Mỗi góc lượng giác gốc O được xác lập vày tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của chính nó.

Chú ý: Cho nhì tia Ou, Ov thì sở hữu vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như vậy đều kí hiệu là (Ou, Ov). Số đo của những góc lượng giác này sai không giống nhau một bội vẹn toàn của 360°.

Ví dụ: Cho góc hình học tập uOv sở hữu số đo 30° (như hình vẽ). Xác lăm le số đo của những góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ov, Ou).

Hướng dẫn giải

Ta có:

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov sở hữu số đo là sđ(Ou, Ov) = 30° + k360° (k ∈ ℤ).

Quảng cáo

– Các góc góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ou sở hữu số đo là sđ(Ov, Ou) = –30° + k360° (k ∈ ℤ).

b) Hệ thức Chasles

Với phụ thân tia Ou, Ov, Ow bất kì, tớ có:

sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) + k360° (k ∈ ℤ).

Nhận xét: Từ hệ thức Chasles, tớ suy ra:

Với phụ thân tia tùy ý Ox, Ou, Ov tớ có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° (k ∈ ℤ).

Ví dụ: Cho một góc lượng giác sở hữu sđ (Ox, Ou) = 120° và một góc lượng giác (Ox, Ov) sở hữu số đo 250°. Tính số đo của góc lượng giác (Ou, Ov).

Hướng dẫn giải

Ta có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° = 250° – 120° + k360° = 130°+ k360°.

2. Đơn vị đo góc và chừng lâu năm cung tròn

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

– Đơn vị độ: Để đo góc, tớ người sử dụng đơn vị chức năng chừng. Ta đang được biết: Góc 1° vày $\frac{1}{180}$ góc bẹt.

Đơn vị chừng được tạo thành những đơn vị chức năng nhỏ rộng lớn 1° = 60´; 1´ = 60".

Quảng cáo

– Đơn vị rađian: Cho lối tròn trặn (O) tâm O, nửa đường kính R và một cung AB bên trên (O).

Ta phát biểu cung tròn trặn AB sở hữu số đo vày 1 rađian nếu như chừng lâu năm của chính nó trúng vày nửa đường kính R.

Khi tê liệt tớ cũng bảo rằng góc AOB sở hữu số đo vày 1 rađian và ghi chép $\widehat{AOB}=1\text{rad}$.

– Quan hệ thân ái chừng và rađian: Do lối tròn trặn có tính lâu năm 2ℼR nên nó sở hữu số đo 2ℼ rad. Mặt không giống, lối tròn trặn sở hữu số đo vày 360° nên tớ sở hữu 360° = 2ℼ rad.

Do tê liệt tớ ghi chép $1°=\frac{\pi }{180}\text{rad}$ và .

Chú ý:

– Khi ghi chép số đo của một góc bám theo đơn vị chức năng rađian, người tớ thông thường ko ghi chép chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc $\frac{\pi }{2}$ được hiểu là góc $\frac{\pi }{2}$ rad.

– Dưới đó là bảng ứng thân ái số đo vày chừng và số đo vày rađian của những góc quan trọng đặc biệt nhập phạm vi kể từ 0° cho tới 180°.

Ví dụ:

a) 50° = $50.\frac{\pi }{180}\text{=}\frac{5\pi }{18}$

b) .

b) Độ lâu năm cung tròn

Một cung của lối tròn trặn nửa đường kính R và sở hữu số đo α rad thì có tính lâu năm l = Rα.

Ví dụ:

Cung của lối tròn trặn nửa đường kính 2 centimet và sở hữu số đo $\frac{\pi }{3}$ thì có tính lâu năm l = 2.$\frac{\pi }{3}$ = $\frac{2\pi }{3}$ (cm).

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

a) Đường tròn trặn lượng giác

– Đường tròn trặn lượng giác là lối tròn trặn sở hữu tâm bên trên gốc tọa chừng, nửa đường kính vày 1, được lý thuyết và lấy điểm A(1; 0) thực hiện điểm gốc của lối tròn trặn.

– Điểm bên trên lối tròn trặn lượng giác trình diễn góc lượng giác sở hữu số đo α (độ hoặc rađian) là vấn đề M bên trên lối tròn trặn lượng giác sao mang lại sđ (OA, OM) = α.

Ví dụ: Điểm M bên trên lối tròn trặn lượng giác trình diễn góc sở hữu số đo –120° được xác lập như nhập hình sau:

b) Các độ quý hiếm lượng giác của góc lượng giác

– Hoành chừng x của điểm M được gọi là côsin của α, kí hiệu là cos α.

cosα = x.

– Tung chừng nó của điểm M được gọi là sin của α, kí hiệu là sin α.

sinα = nó.

– Nếu cosα ≠ 0, tỉ số $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ được gọi là tang của α, kí hiệu là tanα.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}(x\ne 0)$.

– Nếu sinα ≠ 0, tỉ số $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ được gọi là côtang của α, kí hiệu là cotα.

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}(y\ne 0)$.

– Các độ quý hiếm cosα, sinα, tanα, cotα được gọi là độ quý hiếm lượng giác của α.

Chú ý:

– Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

– Từ khái niệm tớ suy ra:

+ sinα, cosα xác lập với từng độ quý hiếm của α và tớ có:

–1 ≤ sinα ≤ 1; –1 ≤ cosα ≤ 1;

sin (α + k2ℼ) = sinα; cos (α + k2ℼ) = cosα (k ∈ ℤ).

+ tanα xác lập khi $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$

+ cotα xác lập khi $\alpha \ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$.

+ Dấu của những độ quý hiếm lượng giác của một góc lượng giác tùy thuộc vào địa điểm điểm trình diễn M bên trên lối tròn trặn lượng giác.

Ví dụ: Cho góc lượng giác sở hữu số đo vày $\frac{\pi }{3}$.

a) Xác lăm le điểm M bên trên lối tròn trặn lượng giác trình diễn góc lượng giác đang được mang lại.

b) Tính những độ quý hiếm lượng giác của góc lượng giác đang được mang lại.

Hướng dẫn giải

a) Điểm M bên trên lối tròn trặn lượng giác trình diễn góc lượng giác sở hữu số đo $\frac{\pi }{3}$ được xác lập nhập hình sau đây.

b) Ta có:

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$\tan \frac{\pi }{3}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\sqrt{3}$; $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\cos \frac{\pi }{3}}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

c) Giá trị lượng giác của những góc quánh biệt

d) Sử dụng PC di động nhằm thay đổi số đo và tìm hiểu giác trị lượng giác của góc.

– cũng có thể người sử dụng PC di động nhằm tính độ quý hiếm lượng giác của góc lượng giác và thay đổi số đo chừng của cung tròn trặn đi ra rađian và ngược lại.

Ví dụ: Sử dụng PC di động để:

a) Tính cos(–147°) (làm tròn trặn cho tới chữ số thập phân loại năm).

Xem thêm: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

b) Đổi $\frac{4}{9}$rad lịch sự chừng.

Hướng dẫn giải

a) Ta bấm PC di động như sau:

Máy tính hiển thị đi ra kết quả: –0.8386705679

Vậy cos(–147°) ≈ –0,83867.

b) Ta bấm PC di động như sau:

Kết trái khoáy PC hình thành 25°27’53.25’’

Vậy $\frac{4}{9}$rad vày 25°27’53,25’’.

4. Quan hệ Một trong những độ quý hiếm lượng giác

a) Các công thức lượng giác cơ bản

sin² α + cos² α = 1

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\text{ (}\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\text{ (}\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

tanα . cotα = 1 $(\alpha \ne \frac{k\pi }{2}\pi ,k\in \mathbb{Z})$

Ví dụ: Tính những độ quý hiếm lượng giác của góc α, biết cosα = $\frac{4}{5}$và 0 < α < 90°.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < 90° nên sin α > 0. Mặt không giống, kể từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$.

Do tê liệt, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ .

b) Giá trị lượng giác của những góc sở hữu tương quan quánh biệt

– Góc đối nhau (α và –α )

cos(–α) = cos α

sin(–α) = – sin α

tan(–α) = – tan α

cot(–α) = – cot α

– Góc bù nhau (α và ℼ – α)

sin(ℼ – α) = sin α

cos(ℼ – α) = – cos α

tan(ℼ – α) = – tan α

cot(ℼ – α) = – cot α

– Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}-\alpha$)

– Góc rộng lớn tầm thường ℼ (α và ℼ + α)

sin (ℼ + α) = – sin α

cos (ℼ + α) = – cos α

tan (ℼ + α) = tan α

cot (ℼ + α) = cot α

Chú ý: Nhờ những công thức bên trên, tớ hoàn toàn có thể fake việc tính độ quý hiếm lượng giác của một góc lượng giác bất kì về sự tính độ quý hiếm lượng giác của góc α với $0\le \alpha \le \frac{\pi }{2}$.

Ví dụ:

a) Tính .

b) Rút gọn gàng biểu thức: (giả sử tanα và cotα đều phải sở hữu nghĩa).

Hướng dẫn giải

a)

b) Ta có:

Bài tập dượt Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 1. Trên một lối tròn trặn sở hữu nửa đường kính vày 5 centimet, tìm hiểu chừng lâu năm của cung sở hữu số đo $\frac{2\pi }{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta sở hữu R = 5 cm; $\alpha =\frac{2\pi }{3}$. Suy đi ra l = Rα = $5.\frac{2\pi }{3}$ ≈ 10,5 (cm).

Vậy chừng lâu năm cung tròn trặn là 10,5 centimet.

Bài 2. Tính những độ quý hiếm lượng giác của góc α, biết sinα = $-\frac{2}{5}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên cos α > 0. Mặt không giống, kể từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

Do tê liệt, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=-\frac{2\sqrt{21}}{21}$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{-\frac{2}{5}}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$ .

Bài 3. Tính

a) ;

b) tan(–780°).

Hướng dẫn giải

a) .

b) tan(– 780°) = tan(–60° – 2.360°) = tan(–60°) = – tan60° = $-\sqrt{3}$.

Bài 4. Dùng PC di động để:

a) Đổi 56°32’ lịch sự rađian.

b) Tính .

Hướng dẫn giải

a) Để thay đổi 56°32’ lịch sự rađian tớ bấm theo lần lượt như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 0,9866928038

Vậy 56°32’ vày 0,9866928038 rađian.

b) Để tính tớ bấm theo lần lượt như sau:

Màn hình hiển thị kết quả: 1,253960338

Vậy vày 1,253960338.

Học đảm bảo chất lượng Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Các bài học kinh nghiệm nhằm học tập đảm bảo chất lượng Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán lớp 11 hoặc khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Xem thêm thắt tóm lược lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối học thức hoặc khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm con số giác

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• Tổng phù hợp thuyết Toán 11 Chương 1

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lốc xoáy Art of Nature Thiên Long màu sắc xinh xỉu
• Biti's đi ra kiểu mẫu mới mẻ xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---