Phương pháp tìm nguyên hàm của các hàm số chứa căn thức - TOANMATH.com

Bài viết lách trình diễn những dạng toán thông thường bắt gặp và phương pháp tìm nguyên vẹn hàm của những hàm số chứa chấp căn thức (hàm số vô tỉ), đó là dạng toán cực kỳ phổ cập nhập công tác Giải tích 12 chương 3.

Để thăm dò nguyên vẹn hàm của những hàm số chứa chấp căn thức (hàm số vô tỉ) tao cần thiết linh động lựa lựa chọn 1 trong những cách thức cơ bạn dạng sau:
1. Phương pháp tam thức bậc nhị.
2. Phương pháp phân tách.
3. Phương pháp thay đổi biến chuyển.
4. Phương pháp nguyên vẹn hàm từng phần.
5. Sử dụng những cách thức không giống nhau.
Sau phía trên tất cả chúng ta nằm trong chuồn kiểm tra từng dạng.

Bạn đang xem: Phương pháp tìm nguyên hàm của các hàm số chứa căn thức - TOANMATH.com

Dạng toán 1: Tìm nguyên vẹn hàm những hàm số chứa chấp căn thức (hàm số vô tỉ) dựa vào tam thức bậc nhị.
Trên hạ tầng trả tam thức bậc nhị về dạng chủ yếu tắc và sử dụng những công thức sau:
1. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} = \sqrt {{x^2} \pm a} + C.$
2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$
3. $\int {\sqrt {{x^2} \pm a} } dx$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} \pm a} $ $ \pm \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right|$ $ + C.$

Ví dụ 1: Tìm nguyên vẹn hàm những hàm số chứa chấp căn thức sau:
a) $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .$
b) $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} .$

a) Ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn những cơ hội trình diễn sau:
Cách 1: Ta biến chuyển đổi: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + C.$
Cách 2: Đặt $u = {x^2} + 1$, suy ra: $du = 2xdx$ $ \Leftrightarrow xdx = \frac{1}{2}du.$
Từ đó: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{du}}{{2\sqrt u }}} $ $ = \sqrt u + C$ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + C.$
Cách 3: Đặt $u = \sqrt {{x^2} + 1} $, suy ra: ${u^2} = {x^2} + 1$ $ \Rightarrow 2udu = 2xdx$ $ \Leftrightarrow xdx = udu.$
Từ đó: $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \int {\frac{{udu}}{u}} $ $ = \int {du} = u + C$ $ = \sqrt {{x^2} + 1} + C.$
b) Ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn những cơ hội trình diễn sau:
Cách 1: Ta biến chuyển đổi: $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {2{x^2} + 2x} \right)}}{{2\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \sqrt {2{x^2} + 2x} + C.$
Cách 2: Đặt $u = 2{x^2} + 2x$, suy ra: $du = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ \Leftrightarrow (2x + 1)dx = \frac{1}{2}du.$
Từ đó: $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \int {\frac{{du}}{{2\sqrt u }}} $ $ = \sqrt u + C$ $ = \sqrt {2{x^2} + 2x} + C.$
Cách 3: Đặt: $u = \sqrt {2{x^2} + 2x} $, suy ra: ${u^2} = 2{x^2} + 2x$ $ \Rightarrow 2udu = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ \Leftrightarrow (2x + 1)dx = udu.$
Từ đó: $\int {\frac{{(2x + 1)dx}}{{\sqrt {2{x^2} + 2x} }}} $ $ = \int {\frac{{udu}}{u}} $ $ = \int d u = u + C$ $ = \sqrt {2{x^2} + 2x} + C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên vẹn hàm những hàm số chứa chấp căn thức sau:
a) $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – a} }}.$
b) $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}.$

a) Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} – a} $, suy ra: $dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {{x^2} – a} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\sqrt {{x^2} – a} + x}}{{\sqrt {{x^2} – a} }}dx$ $ = \frac{{tdx}}{{\sqrt {{x^2} – a} }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – a} }} = \frac{{dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – a} }}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = \ln |t| + C$ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – a} } \right| + C.$
b) Ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn những cơ hội trình diễn sau:
Cách 1: Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} – \frac{5}{4}} }}} .$
Đặt $t = x – \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow dt = dx.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {{t^2} – \frac{5}{4}} }}} $ $ = \ln \left| {t + \sqrt {{t^2} – \frac{5}{4}} } \right| + C$ $ = \ln \left| {x – \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} – x – 1} } \right| + C.$
Cách 2: Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)}^2} – \frac{5}{4}} }}} .$
Đặt $t = x – \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} – x – 1} $, suy ra: $dt = \left( {1 + \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} \right)dx$ $ = \left( {1 + \frac{{x – \frac{1}{2}}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} \right)dx$ $ = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} – x – 1} + x – \frac{1}{2}} \right)dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}$ $ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }} = \frac{{dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – x – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = \ln |t| + C$ $ = \ln \left| {x – \frac{1}{2} + \sqrt {{x^2} – x – 1} } \right| + C.$

Ví dụ 3: thạo rằng $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$ Tìm nguyên vẹn hàm: $I = \int {\sqrt {{x^2} + 3} } dx.$

Sử dụng cách thức nguyên vẹn hàm từng phần bằng phương pháp đặt:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \sqrt {{x^2} + 3} }\\
{dv = dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}dx}\\
{v = x}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = x\sqrt {{x^2} + 3} – \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = x\sqrt {{x^2} + 3} – \int {\frac{{\left( {{x^2} + 3 – 3} \right)dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ – \int {\sqrt {{x^2} + 3} } dx$ $ + \int {\frac{{3dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} .$
$ \Leftrightarrow 2I = x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ + 3\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$
$ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ + \frac{3}{2}\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$
Chú ý: Với những em học viên đang được kinh nghiệm tay nghề trong những công việc tính nguyên vẹn hàm hoàn toàn có thể trình diễn Theo phong cách sau:
$\sqrt {{x^2} + 3} $ $ = \frac{1}{2} \cdot \frac{{2{x^2} + 6}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}$ $ = \frac{1}{2} \cdot \left( {\sqrt {{x^2} + 3} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} \right)$ $ + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}$ $ = \frac{1}{2} \cdot {\left( {x\sqrt {{x^2} + 3} } \right)^\prime } + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}.$
Khi đó: $I = \frac{1}{2}\int {{{\left( {x\sqrt {{x^2} + 3} } \right)}^\prime }} dx$ $ + \frac{3}{2}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 3} }}} $ $ = \frac{1}{2}x\sqrt {{x^2} + 3} $ $ + \frac{3}{2}\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right) + C.$

Ví dụ 4: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$

Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\left[ {\left( {{x^2} + 1} \right) – 1} \right]dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)dx} $ $ = \int {\sqrt {{x^2} + 1} } dx$ $ – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} $ $ + \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right|$ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} $ $ – \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C.$

Dạng 2: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} $, với $a > 0.$ 
Ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn một trong những nhị cơ hội sau:
Cách 1: Vì điều kiện: $\frac{{x – a}}{{x + a}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge a}\\
{x < – a}
\end{array}} \right.$ nên tao xét nhị ngôi trường hợp:
Trường ăn ý 1: Với $x \ge a$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – a)dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} – a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – {a^2}} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right| + C.$
Trường ăn ý 2: Với $x < – a$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – a)dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ + a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – {a^2}} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – {a^2}} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right| + C.$
Cách 2: Đặt: $t = \sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} $ $ \Rightarrow {t^2} = \frac{{x – a}}{{x + a}}$ $ \Rightarrow x = \frac{{a\left( {1 + {t^2}} \right)}}{{1 – {t^2}}}$ $ \Rightarrow dx = \frac{{4atdt}}{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – a}}{{x + a}}} } dx$ $ = \int {\frac{{4a{t^2}dt}}{{{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}}}} $ $ = 4a\int {\frac{{\left[ {\left( {{t^2} – 1} \right) + 1} \right]dt}}{{{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}} $ $ = 4a\left[ {\underbrace {\int {\frac{{dt}}{{{t^2} – 1}}} }_{{I_1}} + \underbrace {\int {\frac{{dt}}{{{{\left( {{t^2} – 1} \right)}^2}}}} }_{{1_2}}} \right].$
Các nguyên vẹn hàm $I_1$ và $I_2$ tất cả chúng ta đã hiểu cách thức giải.

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} .$

Vì điều kiện $\frac{{x – 1}}{{x + 1}} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 1}\\
{x < – 1}
\end{array}} \right.$, tao xét nhị ngôi trường hợp:
Trường ăn ý 1: Với $x \ge 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} – 1} $ $ – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$
Trường ăn ý 2: Với $x < – 1$ thì:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} } dx$ $ = – \int {\frac{{(x – 1)dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{2xdx}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} }}} + \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = – \sqrt {{x^2} – 1} $ $ + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C.$

Dạng 3: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} + \sqrt {ax + c} }}$, với $a \ne 0$ và $b – c \ne 0.$ 
Khử tính vô tỉ ở khuôn số bằng phương pháp trục căn thức, tao được:
$I = \frac{1}{{b – c}}\int {(\sqrt {ax + b} + \sqrt {ax + c} )} dx$ $ = \frac{1}{{a(b – c)}}\left[ {\int {{{(ax + b)}^{1/2}}} d(ax + b) + \int {{{(ax + c)}^{1/2}}} d(ax + c)} \right]$ $ = \frac{2}{{3a(b – c)}}\left[ {\sqrt {{{(ax + b)}^3}} + \sqrt {{{(ax + c)}^3}} } \right] + C.$

Ví dụ 1: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \tan x + \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2x – 1} }}.$

Ta có: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {\tan x + \frac{1}{{\sqrt {2x + 1} + \sqrt {2x – 1} }}} \right)} dx$ $ = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x}}} $ $ + \int {\frac{{\sqrt {2x + 1} – \sqrt {2x – 1} }}{2}} dx$ $ = – \ln |\cos x|$ $ + \frac{1}{3}\left[ {{{(2x + 1)}^{3/2}} – {{(2x – 1)}^{3/2}}} \right] + C.$

Ví dụ 2: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{2x}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}.$

Ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn một trong những nhị cơ hội giải sau:
Cách 1: (Sử dụng cách thức biến chuyển đổi): Ta có:
$\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{2x}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}} dx$ $ = \int {\frac{{2x\left( {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right)}}{{{x^2} – {x^2} + 1}}} dx$ $ = \int 2 {x^2}dx – \int 2 x\sqrt {{x^2} – 1} dx$ $ = \frac{2}{3}{x^3} – \int {\sqrt {{x^2} – 1} } d\left( {{x^2} – 1} \right) + C$ $ = \frac{2}{3}{x^3} – \frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^3}} + C.$
Cách 2: (Sử dụng cách thức thay đổi biến chuyển số): Đặt $t = x + \sqrt {{x^2} – 1} $ tao có:
$t – x = \sqrt {{x^2} – 1} $ $ \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}}$ $ \Rightarrow dx = \frac{{{t^2} – 1}}{{2{t^2}}}dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{2xdx}}{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{2 \cdot \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}} \cdot \frac{{{t^2} – 1}}{{2{t^2}}}dt}}{t}} $ $ = \int {\frac{{\left( {{t^4} – 1} \right)dt}}{{2{t^4}}}} $ $ = \frac{1}{2}\int {\left( {1 – \frac{1}{{{t^4}}}} \right)} dt$ $ = \frac{1}{2}\left( {t + \frac{1}{{3{t^3}}}} \right) + C$ $ = \frac{1}{2}\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)$ $ + \frac{1}{{6{{\left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right)}^3}}} + C.$

Dạng 4: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số chứa chấp căn thức (hàm số vô tỉ) bằng phương pháp dùng những giống hệt thức.
Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \frac{x}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}.$

Sử dụng giống hệt thức $x = x + 1 – 1$, tao được: $f(x) = \frac{{x + 1 – 1}}{{\sqrt[{10}]{{x + 1}}}}$ $ = {(x + 1)^{9/10}} – {(x + 1)^{ – 1/10}}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left[ {{{(x + 1)}^{9/10}} – {{(x + 1)}^{ – 1/10}}} \right]} dx$ $ = \frac{{10}}{{19}}{(x + 1)^{19/10}}$ $ – \frac{{10}}{9}{(x + 1)^{9/10}} + C.$

Dạng 5: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{v(x)dx}}{{\sqrt {{u^2}(x) \pm \alpha } }}.$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Phân tích: $\frac{{v(x)}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ = \frac{{a\left[ {{u^2}(x) + \alpha } \right]}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ + \frac{{bu(x)}}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}$ $ + \frac{c}{{\sqrt {{u^2}(x) + \alpha } }}.$
Sử dụng cách thức hằng số biến động tao xác lập được $a,b,c.$
Bước 2: sít dụng những công thức:
1. $\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} $ $ = \sqrt {{x^2} \pm a} + C.$
2. $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} \pm a} }}} $ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$
3. $\int {\sqrt {{x^2} \pm a} } dx$ $ = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} \pm a} $ $ \pm \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} \pm a} } \right| + C.$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}.$

Ta có: $\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}$ $ = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ = \frac{{a\left[ {{{(x + 1)}^2} – 1} \right]}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{{b(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{c}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ = \frac{{a{x^2} + (2a + b)x + b + c}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}.$
Đồng nhất đẳng thức, tao được:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{2a + b = 0}\\
{b + c = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 2}\\
{b = – 4}\\
{c = 5}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}$ $ = 2\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} $ $ – \frac{{4(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}$ $ + \frac{5}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left[ {2\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} – \frac{{4(x + 1)}}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }} + \frac{5}{{\sqrt {{{(x + 1)}^2} – 1} }}} \right]} dx$ $ = (x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ – \ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right|$ $ – 4\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ + 5\ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right| + C$ $ = (x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x} $ $ + 4\ln \left| {x + 1 + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right|$ $ – 4\sqrt {{x^2} + 2x} + C.$

Dạng 6: (Phương pháp thay đổi biến) Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$ 
Ta xét nhị ngôi trường hợp:
Trường ăn ý 1: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + a > 0}\\
{x + b > 0}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} $, suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x + a} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x + b} }}} \right)dx$ $ = \frac{{(\sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} )dx}}{{2\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = 2\ln |t| + C$ $ = 2\ln |\sqrt {x + a} + \sqrt {x + b} | + C.$
Trường ăn ý 2: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + a < 0}\\
{x + b < 0}
\end{array}} \right.$
Đặt $t = \sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} $, suy ra: $dt = \left[ { – \frac{1}{{2\sqrt { – (x + a)} }} – \frac{1}{{2\sqrt { – (x + b)} }}} \right]dx$ $ = – \frac{{[\sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} ]dx}}{{2\sqrt {(x + a)(x + b)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x + a)(x + b)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = – 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = – 2\ln |t| + C$ $ = – 2\ln |\sqrt { – (x + a)} + \sqrt { – (x + b)} | + C.$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 5x + 6} }}.$

Xem thêm: Na + H2O → NaOH + H2 | Na ra NaOH

Biến thay đổi $I$ về dạng: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}} .$
Ta xét nhị ngôi trường hợp:
Trường ăn ý 1: Với: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 > 0}\\
{x – 3 > 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x > 3.$
Đặt $t = \sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} $, suy ra: $dt = \left( {\frac{1}{{2\sqrt {x – 2} }} + \frac{1}{{2\sqrt {x – 3} }}} \right)dx$ $ = \frac{{(\sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} )dx}}{{2\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }} = \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = 2\ln |t| + C$ $ = 2\ln |\sqrt {x – 2} + \sqrt {x – 3} | + C.$
Trường ăn ý 2: Với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 < 0}\\
{x – 3 < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x < 2.$
Đặt $t = \sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} $, suy ra: $dt = \left[ { – \frac{1}{{2\sqrt {2 – x} }} – \frac{1}{{2\sqrt {3 – x} }}} \right]dx$ $ = – \frac{{[\sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} ]dx}}{{2\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }}.$
$ \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {(x – 2)(x – 3)} }} = – \frac{{2dt}}{t}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = – 2\int {\frac{{dt}}{t}} $ $ = – 2\ln |t| + C$ $ = – 2\ln |\sqrt {2 – x} + \sqrt {3 – x} | + C.$

Dạng 7: (Phương pháp thay đổi biến): Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \right)dx$ với $a > 0.$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Đặt $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = |a|\sin t\:{\rm{với}}\: – \frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}}\\
{x = |a|\cos t\:{\rm{với}}\:0 \le t \le \pi }
\end{array}} \right.$ (hoặc đem thể $t = x + \sqrt {{a^2} – {x^2}} $).
Bước 2: Bài toán được gửi về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}.$

Ta hoàn toàn có thể trình diễn theo đòi nhị cơ hội sau:
Cách 1: Đặt $x = \sin t$, $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$, suy ra: $dx = \cos tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{{\sin }^3}t\cos tdt}}{{\cos t}}$ $ = {\sin ^3}tdt$ $ = \frac{1}{4}(3\sin t – \sin 3t)dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{4}\int {(3\sin t – \sin 3t)} dt$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\cos 3t + C$ $ = – \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{{12}}\left( {4{{\cos }^3}t – 3\cos t} \right) + C$ $ = \frac{1}{3}{\cos ^3}t – \cos t + C$ $ = \left( {\frac{1}{3}{{\cos }^2}t – 1} \right)\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right) – 1} \right]\cos t + C$ $ = \left[ {\frac{1}{3}\left( {1 – {x^2}} \right) – 1} \right]\sqrt {1 – {x^2}} + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$
Chú ý: Trong những giải bên trên tao có: $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t}\\
{\cos t = \sqrt {1 – {{\sin }^2}t} = \sqrt {1 – {x^2}} }
\end{array}} \right.$
Cách 2: Đặt $t = \sqrt {1 – {x^2}} $, suy ra: ${x^2} = 1 – {t^2}$, kể từ đó: $2xdx = – 2tdt$ và $\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{{x^2}xdx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}$ $ = \frac{{\left( {1 – {t^2}} \right)( – tdt)}}{t}$ $ = \left( {{t^2} – 1} \right)dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( {{t^2} – 1} \right)} dt$ $ = \frac{1}{3}{t^3} – t + C$ $ = \frac{1}{3}\left( {{t^2} – 3} \right)t + C$ $ = – \frac{1}{3}\left( {{x^2} + 2} \right)\sqrt {1 – {x^2}} + C.$

Dạng 8: (Phương pháp thay đổi biến) Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {{a^2} + {x^2}} } \right)dx$, với $a > 0.$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Đặt $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = |a|\tan t\:{\rm{với}}\: – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}}\\
{x = |a|\cot t\:{\rm{với}}\:0 < t < \pi }
\end{array}} \right.$ (hoặc đem thể $t = x + \sqrt {{a^2} + {x^2}} $).
Bước 2: Bài toán được gửi về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {1 + {x^2}} .$

Ta hoàn toàn có thể trình diễn theo đòi nhị cơ hội sau:
Cách 1: Đặt $x = \tan t$, $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$, suy ra: $dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}$ và $\sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^3}t}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{dt}}{{{{\cos }^3}t}}} $ $ = \int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^4}t}}} $ $ = \int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right)}^2}}}} .$
Đặt $u = \sin t$, suy ra: $du = \cos tdt$ và $\frac{{{\rm{ }}\cos tdt{\rm{ }}}}{{{{\left( {1 – {{\sin }^2}t} \right)}^2}}}$ $ = \frac{{du}}{{{{(u + 1)}^2}{{(u – 1)}^2}}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{du}}{{{{(u + 1)}^2}{{(u – 1)}^2}}}} $ $ = \frac{1}{4}\left[ {\ln \left| {\frac{{u + 1}}{{u – 1}}} \right| – \frac{{2u}}{{(u + 1)(u – 1)}}} \right] + C$ $ = \frac{1}{4}\left[ {\ln \left| {\frac{{\sin t + 1}}{{\sin t – 1}}} \right| – \frac{{2\sin t}}{{(\sin t + 1)(\sin t – 1)}}} \right] + C$ $ = \frac{1}{4}\left[ {\ln \left| {\frac{{\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 1}}{{\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} – 1}}} \right| – \frac{{2\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + 1} \right)\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} – 1} \right)}}} \right] + C$ $ = \frac{1}{4}\left( {\ln \left| {\frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{x – \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right| + 2x\sqrt {1 + {x^2}} } \right) + C$ $ = \frac{1}{4}\left( {2\ln \left| {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right| + 2x\sqrt {1 + {x^2}} } \right) + C$ $ = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right| + x\sqrt {1 + {x^2}} } \right) + C.$
Cách 2: Đặt $t = x + \sqrt {1 + {x^2}} $, suy ra: $t – x = \sqrt {1 + {x^2}} $ $ \Rightarrow {(t – x)^2} = 1 + {x^2}$ $ \Rightarrow x = \frac{{{t^2} – 1}}{{2t}}.$
$ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} $ $ = t – \frac{{{t^2} – 1}}{{2t}}$ $ = \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}}.$
$ \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)dx$ $ = \frac{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx$ $ = \frac{{2{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dx$ $ \Leftrightarrow dx = \frac{{{t^2} + 1}}{{2{t^2}}}dt$, $\sqrt {1 + {x^2}} dx$ $ = \frac{{{t^2} + 1}}{{2t}} \cdot \frac{{{t^2} + 1}}{{2{t^2}}}dt$ $ = \frac{1}{4}\frac{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}{{{t^3}}}dt$ $ = \frac{1}{4}\left( {t + \frac{2}{t} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right)dt.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{4}\int {\left( {t + \frac{2}{t} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right)} dt$ $ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{2}{t^2} + 2\ln |t| – \frac{1}{{2{t^2}}}} \right) + C$ $ = \frac{1}{8}\left[ {\left( {{t^2} – \frac{1}{{{t^2}}}} \right) + 4\ln |t|} \right] + C$ $ = \frac{1}{8}\left[ {4x\sqrt {1 + {x^2}} + 4\ln \left| {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right|} \right] + C$ $ = \frac{1}{2}\left( {\ln \left| {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right| + x\sqrt {1 + {x^2}} } \right) + C.$
Cách 3: (Sử dụng cách thức tích phân từng phần).
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \sqrt {{x^2} + 1} }\\
{dv = dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}\\
{v = x}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = \int f (x)dx$ $ = x\sqrt {{x^2} + 1} – \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .$
Trong đó: $\int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\left[ {\left( {{x^2} + 1} \right) – 1} \right]dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\sqrt {{x^2} + 1} } dx – \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = I – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C.$
Vậy: $I = x\sqrt {{x^2} + 1} $ $ – \left( {I – a\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C} \right).$
$ \Leftrightarrow 2I = x\sqrt {{x^2} + 1} + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C.$
$ \Leftrightarrow I = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + 1} + \frac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right| + C.$
Chú ý:
1. Trong cơ hội giải loại nhất sở dĩ tao có: $\sqrt {1 + {x^2}} = \frac{1}{{\cos t}}$ và $\sin t = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$ là bởi $ – \frac{\pi }{2} < t < \frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow \cos t > 0$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{{\cos }^2}t} = \cos t}\\
{\sin t = \tan t.\cos t = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}
\end{array}} \right.$
2. Cả tía cách thức bên trên (tốt nhất là cách thức 2) được vận dụng nhằm thăm dò những nguyên vẹn hàm:
$\int {\sqrt {{x^2} + a} } dx$ $ = \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right|$ $ + \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + a} + C.$
$\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$
3. Với nguyên vẹn hàm $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{2k + 1}}} }}} $, với $k \in Z$ tốt nhất có thể là dùng cách thức 1.
4. Với nguyên vẹn hàm $I = \int {\sqrt {(x + a)(x + b)} } dx$ tao hoàn toàn có thể tiến hành như sau:
Đặt $t = x + \frac{{a + b}}{2}$ và $A = – \frac{{{{(b – a)}^2}}}{4}$, suy ra: $dt = dx$ và $\sqrt {(x + a)(x + b)} dx$ $ = \sqrt {{t^2} + A} dt.$
Khi đó: $I = \int {\sqrt {{t^2} + A} } dt$ $ = \frac{A}{2}\ln \left| {t + \sqrt {{t^2} + A} } \right|$ $ + \frac{t}{2}\sqrt {{t^2} + A} + C$ $ = – \frac{{{{(b – a)}^2}}}{8}\ln \left| {x + \frac{{a + b}}{2} + \sqrt {(x + a)(x + b)} } \right|$ $ + \frac{{2x + a + b}}{4}\sqrt {(x + a)(x + b)} + C.$

Dạng 9: (Phương pháp thay đổi biến): Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {{x^2} – {a^2}} } \right)dx$, với $a > 0.$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Đặt $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{|a|}}{{\sin t}}\:{\rm{với}}\:t \in \left[ { – \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]\backslash \{ 0\} }\\
{x = \frac{{|a|}}{{\cos t}}\:{\rm{với}}\:t \in [0,\pi ]\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2}} \right\}}
\end{array}} \right.$ (hoặc đem thể $t = \sqrt {{x^2} – {a^2}} .$
Bước 2: Bài toán được gửi về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{x}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}.$

Ta hoàn toàn có thể trình diễn theo đòi nhị cơ hội sau:
Cách 1: Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 1} $ thì ${t^2} = {x^2} – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $\frac{{xdx}}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}$ $ = \frac{{xdx}}{{2\left( {{x^2} – 1} \right) + 3\sqrt {{x^2} – 1} + 1}}$ $ = \frac{{{\rm{ }}tdt{\rm{ }}}}{{2{t^2} + 3t + 1}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx = \int {\frac{{tdt}}{{2{t^2} + 3t + 1}}} .$
Ta có: $\frac{1}{{2{t^2} + 3t + 1}}$ $ = \frac{t}{{(2t + 1)(t + 1)}}$ $ = \frac{a}{{2t + 1}} + \frac{b}{{t + 1}}$ $ = \frac{{(a + 2b)t + a + b}}{{(2t + 1)(t + 1)}}.$
Đồng nhất đẳng thức, tao được: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + 2b = 1}\\
{a + b = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1}\\
{b = 1}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $\frac{t}{{2{t^2} + 3t + 1}}$ $ = – \frac{1}{{2t + 1}} + \frac{1}{{t + 1}}.$
Do đó: $\int f (x)dx$ $ = \int {\left( { – \frac{1}{{2t + 1}} + \frac{1}{{t + 1}}} \right)} dt$ $ = – \frac{1}{2}\ln |2t + 1| + \ln |t + 1| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(t + 1)}^2}}}{{|2t + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} – 1} + 1} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} + 1}} + C.$
Cách 2: Vì điều kiện $|x| > 1$, tao xét nhị ngôi trường hợp:
Trường ăn ý 1: Với $x > 1$ thì đặt $x = \frac{1}{{\cos t}}$, $t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ suy ra $dx = \frac{{\sin tdt}}{{{{\cos }^2}t}}.$
Khi đó: $I = \int f (x)dx$ $ = \int {\frac{{xdx}}{{2{x^2} – 1 + 3\sqrt {{x^2} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\frac{1}{{\cos t}} \cdot \frac{{\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt}}{{\frac{2}{{{{\cos }^2}t}} – 1 + 3\tan t}}} $ $ = \int {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)\tan tdt}}{{2\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right) – 1 + 3\tan t}}} $ $ = \int {\frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)\tan tdt}}{{2{{\tan }^2}t + 3\tan t + 1}}} .$
Đặt $u = \tan t$ suy ra: $du = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}} = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt.$
Khi đó: $I = \int {\frac{{udu}}{{2{u^2} + 3u + 1}}} $ $ = \int {\left( { – \frac{1}{{2u + 1}} + \frac{1}{{u + 1}}} \right)} du$ $ = – \frac{1}{2}\ln |2u + 1| + \ln |u + 1| + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(u + 1)}^2}}}{{|2u + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{(\tan t + 1)}^2}}}{{|2\tan t + 1|}} + C$ $ = \frac{1}{2}\ln \frac{{{{\left( {\sqrt {{x^2} – 1} + 1} \right)}^2}}}{{2\sqrt {{x^2} – 1} + 1}} + C.$
Trường ăn ý 2: Với $x < – 1$: Quý Khách hiểu tự động giải.

Dạng 10: (Phương pháp thay đổi biến) Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {(x – a)(b – x)} } \right)dx.$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t.$
Bước 2: Bài toán được gửi về $I = \int S (\sin t,\cos t)dt.$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ với $a < b.$

Đặt $x = a + (b – a){\sin ^2}t$, với $0 \le t \le \frac{\pi }{2}$ suy ra: $dx = 2(b – a) \sin t \cos tdt$ $ = (b – a)\sin 2tdt$, $\frac{{dx}}{{\sqrt {{{[(x – a)(b – x)]}^3}} }}$ $ = \frac{{(b – a)\sin 2tdt}}{{\sqrt {{{\left[ {(b – a){{\sin }^2}t(b – a){{\cos }^2}t} \right]}^3}} }}$ $ = \frac{{(b – a)\sin 2tdt}}{{{{(b – a)}^3}{{\sin }^3}2t}}$ $ = \frac{1}{{{{(b – a)}^2}}} \cdot \frac{{dt}}{{{{\sin }^2}2t}}.$
Khi đó: $\int f (x)dx$ $ = \frac{1}{{{{(b – a)}^2}}}\int {\frac{{dt}}{{{{\sin }^2}2t}}} $ $ = – \frac{{\cot 2t}}{{2{{(b – a)}^2}}} + C$ $ = – \frac{{a + b – 2x}}{{2\sqrt {(x – a)(b – x)} }} + C.$

Dạng 11: (Phương pháp thay đổi biến): Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt {a{x^2} + bx + c} } \right)dx.$
Ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn một trong những nhị cơ hội sau:
Cách 1: (Đưa $I$ về những dạng nguyên vẹn hàm cơ bạn dạng đang được biết): Ta xét những tình huống sau:
Trường ăn ý 1: Nếu $a > 0$ và $\Delta < 0$ thì tao tiến hành theo đòi những bước:
Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = – \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {1 + {{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt { – \Delta } }}} \right)}^2}} \right].$
Bước 2: Thực hiện nay luật lệ thay đổi biến: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt { – \Delta } }}.$
Bước 3: Bài toán được gửi về $I = \int S \left( {t,\sqrt {1 + {t^2}} } \right)dt.$
Trường ăn ý 2: Nếu $a < 0$ và $\Delta > 0$ thì tao tiến hành theo đòi những bước:
Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = – \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {1 – {{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}} \right)}^2}} \right].$
Bước 2: Thực hiện nay luật lệ thay đổi biến: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}.$
Bước 3: Bài toán được gửi về $I = \int S \left( {t,\sqrt {1 – {t^2}} } \right)dt.$
Trường ăn ý 3: Nếu $a > 0$ và $\Delta > 0$ thì tao tiến hành theo đòi những bước:
Bước 1: Ta có: $a{x^2} + bx + c$ $ = \frac{\Delta }{{4a}}\left[ {{{\left( {\frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}} \right)}^2} – 1} \right].$
Bước 2: Thực hiện nay luật lệ biến chuyển đổi: $t = \frac{{2ax + b}}{{\sqrt \Delta }}.$
Bước 3: Bài toán được gửi về $I = \int S \left( {t,\sqrt {{t^2} – 1} } \right)dt.$
Cách 2: (Sử dụng luật lệ thế Euler): Ta xét những tình huống sau:
1. Nếu $a > 0$, đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = t – x\sqrt a $ hoặc $t + x\sqrt a .$
2. Nếu $c > 0$, đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = tx + \sqrt c $ hoặc $tx – \sqrt c .$
3. Nếu tam thức $a{x^2} + bx + c$ đem biệt số $\Delta > 0$ thì: $a{x^2} + bx + c$ $ = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right).$ Khi cơ đặt $\sqrt {a{x^2} + bx + c} = t\left( {x – {x_1}} \right).$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 2} .$

Sử dụng luật lệ thay đổi biến $t = x + 1$ suy ra $dt = dx.$
Khi đó: $I = \int {\sqrt {{t^2} + 1} } dt.$ Tích phân này tất cả chúng ta biết biết phương pháp xác lập.

Dạng 12: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \frac{{dx}}{{(\lambda x + \mu )\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}.$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Đặt $t = \frac{1}{{\lambda x + \mu }}.$
Bước 2: Bài toán được gửi về $I = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt {\alpha {t^2} + \beta t + \gamma } }}} .$
Chú ý: Phương pháp bên trên hoàn toàn có thể được vận dụng mang đến dạng tổng quát lác rộng lớn là: $I = \int {\frac{{(Ax + B)dx}}{{{{(\lambda x + \mu )}^n}\sqrt {a{x^2} + bx + c} }}} .$

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $f(x) = \frac{1}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}.$

Đặt $t = \frac{1}{{x + 1}}$ thì $x = \frac{1}{t} – 1$ suy ra: $dx = – \frac{1}{{{t^2}}}dt$, $\frac{{dx}}{{(x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}$ $ = \frac{{t\left( { – \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt}}{{\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}$ $ = – \frac{{dt}}{{t\sqrt {\frac{1}{{{t^2}}} + 1} }}$ $ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – \frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\:{\rm{khi}}\:t > 0}\\
{\frac{{dt}}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}\:{\rm{khi}}\:t < 0}
\end{array}} \right.$
Khi cơ tao xét nhị ngôi trường hợp:
Trường ăn ý 1: Với $t>0$, tao được: $\int f (x)dx$ $ = \ln \left| {\frac{{1 – \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{{x + 1}}} \right| + C.$
Trường ăn ý 2: Với $t < 0$. tao được: $\int f (x)dx$ $ = \ln \left| {\frac{{1 – \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{{x + 1}}} \right| + C.$
Tóm lại với $t \ne 0 \Leftrightarrow x \ne – 1$ tao luôn luôn có: $\int f (x)dx$ $ = \ln \left| {\frac{{1 – \sqrt {{x^2} + 2x + 2} }}{{x + 1}}} \right| + C.$

Dạng 13: (Phương pháp thay đổi biến): Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số: $I = \int R \left( {x,\sqrt[n]{{\frac{{ax + b}}{{cx + d}}}}} \right)dx$ với $ad – bc \ne 0.$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Đặt $t = \sqrt[n]{{\frac{{ax + b}}{{cx + d}}}}$ $ \Rightarrow {t^n} = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{b – d{t^n}}}{{c{t^n} – a}}.$
Bước 2: Bài toán được gửi về: $I = \int S (t)dt.$

Dạng 14: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} \cdot \frac{{dx}}{y}$, nhập đó $y = \sqrt {a{x^2} + bx + c} .$
Ta tiến hành theo đòi công việc sau:
Bước 1: Phân tích hàm hữu tỉ $\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ trở thành những phân số tối giản.
Bước 2: Lựa lựa chọn những cách thức thích hợp cho từng tích phân mới mẻ.

Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \frac{{6{x^3} + 8x + 1}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}.$

Xem thêm: Những hình ảnh trời mưa đẹp và lãng mạn nhất

Ta có: $\frac{{6{x^3} + 8x + 1}}{{3{x^2} + 4}}$ $ = 2x + \frac{1}{{3{x^2} + 4}}.$
Do đó: $I = \int f (x)dx$ $ = \int {\left( {2x + \frac{1}{{3{x^2} + 4}}} \right)} \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx$ $ = \underbrace {\int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} }_{{I_1}}$ $ + \underbrace {\int {\frac{{dx}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}} }_{{I_2}}.$
Trong đó: ${I_1} = \int {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \sqrt {x_.^2 + 1} + C.$
Với $I_2$ tao tiến hành luật lệ thay đổi biến $t = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ thì ${x^2} = \frac{{{t^2}}}{{1 – {t^2}}}$ suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}.$
Khi đó: ${I_2} = \int {\frac{{dx}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \int {\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} dt}}{{\left( {3{x^2} + 4} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}} $ $ = \smallint \frac{{\left( {\frac{{{t^2}}}{{1 – {t^2}}} + 1} \right)dt}}{{\frac{{3{t^2}}}{{1 – {t^2}}} + 4}}$ $ = \int {\frac{{dt}}{{4 – {t^2}}}} $ $ = – \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t – 2}}{{t + 2}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t + 2}}{{t – 2}}} \right| + C$ $ = \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x – 2\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right| + C.$
Vậy: $I = \sqrt {{x^2} + 1} $ $ + \frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{x + 2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x – 2\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right| + C.$

Dạng 15: Phương pháp nguyên vẹn hàm từng phần.
Ví dụ: Tìm nguyên vẹn hàm của hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + a} .$

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \sqrt {{x^2} + a} }\\
{dv = dx}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{{xdx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}}\\
{v = x}
\end{array}} \right.$
Khi đó: $I = \int f (x)dx$ $ = x\sqrt {{x^2} + a} – \underbrace {\int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} }_J.$
Biến thay đổi $J$ như sau: $J = \int {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = \int {\frac{{\left[ {\left( {{x^2} + a} \right) – a} \right]dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = \int {\sqrt {{x^2} + a} } dx – a\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + a} }}} $ $ = I – a\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$
Vậy: $I = x\sqrt {{x^2} + a} $ $ – \left( {I – a\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C} \right)$ $ \Leftrightarrow I = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + a} $ $ + \frac{a}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + a} } \right| + C.$