Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao - VUIHOC

1. Hàm số liên tiếp là gì?

Hàm số hắn = f(x) gọi là hàm số liên tiếp bên trên khoảng chừng nếu như hàm số ê liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong khoảng chừng ê. Cụ thể rộng lớn, tao sở hữu khái niệm bao quát cộng đồng như sau:

Bạn đang xem: Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao - VUIHOC

Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên $K,x_{0}\in K$. Khi ê, hắn = f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f(x)=f(x_{0})$.

Đồ thị hàm số liên tiếp sở hữu dạng:

2. Hàm số liên tiếp bên trên 1 điểm

Cho hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên (a;b) và $x_{0} \epsilon (a;b)$. Hàm số hắn được gọi là hàm số liên tiếp bên trên 1 điều $x_{0}$ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$.

Ngược lại, nếu như hàm số $f(x_{0})$ ko liên tiếp bên trên $x_{0}$ thì Lúc ê $x_{0}$ gọi là vấn đề loại gián đoạn của f(x).

Nâng cao hơn nữa, nếu như tao sở hữu 2 hàm số hắn = f(x) và hắn = g(x) nằm trong liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$. Khi đó:

• $y=f(x) + g(x) . hắn = f(x) - g(x) . y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $g(x_{0}) \neq 0$.

3. Hàm số liên tiếp bên trên một khoảng

Nếu hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên một khoảng chừng (a;b) thì Lúc ê hàm số f(x) tiếp tục liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong (a;b). Đồ thị hàm liên tiếp bên trên khoảng chừng (a;b) được trình diễn vày một đàng đường nét ngay lập tức, không biến thành đứt gãy.

Các hàm số căn thức, phân thức, hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng chừng xác lập của bọn chúng.

Ngoài đi ra, nếu như đồ vật thị hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên khoảng chừng (a; b) và vừa lòng $ \underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a); \underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$ thì đồ vật thị hắn = f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b].

4. Hàm số liên tiếp bên trên r

Hàm liên tiếp bên trên R là tình huống quan trọng của hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng.

Đối với một trong những hàm nhiều thức thì tiếp tục liên tiếp bên trên tập luyện R nhưng mà ko cần thiết minh chứng, gồm những: dung lượng giác hắn = sinx, hắn = cosx, hàm nhiều thức, hàm phân thức sở hữu tập luyện xác lập R, hàm nón.

Tham khảo tức thì tư liệu tổ hợp kiến thức và kỹ năng và cách thức giải từng dạng bài bác tập luyện độc quyền của VUIHOC ngay

5. Một số ấn định lý cơ phiên bản về hàm số liên tục

Để vận dụng giải những bài bác tập luyện tương quan cho tới hàm số liên tiếp, ngoài khái niệm những loại hàm số liên tiếp, học viên cần thiết tóm có thể 3 ấn định lý cơ phiên bản sau đây:

Định lý 1: 

• Hàm số nhiều thức là loại hàm số liên tiếp bên trên tập luyện R.

• Hàm số thương của 2 nhiều thức (phân thức hữu tỉ) và những hàm con số giác đều liên tiếp bên trên từng khoảng chừng của tập luyện xác lập.

Định lý 2: Cho hàm số hắn = f(x) và hắn = g(x) là nhị hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$.

Ta có:

• $y=f(x) + g(x) . y=f(x) - g(x),y=f(x) . g(x)$ tiếp tục liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc $g(x_{0}) \neq 0$.

Định lý 3: Cho hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Tồn bên trên tối thiểu 1 điều c nằm trong đoạn (a;b) vừa lòng f(c) = 0. 

Định lý này thông thường dùng để làm minh chứng sự tồn bên trên nghiệm của phương trình bên trên khoảng chừng chắc chắn.

Định lý 3 còn tồn tại một dạng khác ví như sau:

Cho hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a;b] và vừa lòng f(a) . f(b) < 0. Phương trình f(x) = 0 sẽ sở hữu được tối thiểu 1 nghiệm trong vòng (a;b).

6. Các dạng bài bác tập luyện về hàm số liên tiếp và ví dụ cụ thể

6.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một điểm

Đây là dạng bài bác thông thường bắt gặp vô mục chính hàm số liên tiếp. Để xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điều, tao tổ chức theo gót công việc sau:

Bước 1: Tính độ quý hiếm $f(x_{0})$

Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

Bước 3: So sánh nhị độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$ với $f(x_{0})$ tiếp tục tính ở bước 1, rồi Kết luận.

• Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x),\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì học viên Kết luận hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

• Nếu giá chỉ trị $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)$ ko tồn tại  hoặc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x) \neq 0$ thì học viên Kết luận hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên điểm $x_{0}$.

Bước 4: Kết luận dựa trên đòi hỏi đề bài bác.

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên x = 1 của hàm số sau đây: 

$\left\{\begin{matrix}
\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x +2} & Lúc \, x \neq 1 \\ 
-3 & Lúc \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên R\{2} sở hữu x = 1 và f(1) = -3

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)=-3$. Suy đi ra hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên $x_{0}=1$

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại đây bên trên điểm x = 1:

Giải:

Hàm số đề bài bác mang đến xác lập bên trên x = 1 và f(1) = 1

Tính số lượng giới hạn trái ngược bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}1=1$

Tính số lượng giới hạn nên bên trên x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}=\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim}f(x) \neq \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim}f(x)$ nên hàm số loại gián đoạn bên trên x = 1.

6.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp, minh chứng hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập luyện xác định

Đối với dạng bài bác tập luyện này, học viên cần thiết vận dụng kết hợp 2 ấn định lý 1 và 2 nhằm xét tính liên tiếp của hàm số đề bài bác bên trên từng khoảng chừng xác lập của chính nó. Nếu hàm số tiếp tục mang đến xác lập, những em học viên kế tiếp xét tính liên tiếp bên trên những điểm quan trọng của hàm số ê.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số tại đây liên tiếp bên trên khoảng chừng (-7;+)

$f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^{2} - x + 4, x \geq 2\\ 
\frac{x - 2}{\sqrt{x + 7 - 3}}, -7 < x < 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm a, b sao mang đến hàm số sau liên tục:

$\left\{\begin{matrix}
1, x < 3\\ 
ax + b, 3 \leq x \leq 5\\ 
3, x > 5
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.3. Dạng 3: Tìm ĐK hàm số liên tiếp bên trên 1 điểm

Đây là dạng toán “tìm m” rất rất thông dụng trong số đề luyện đua và những đề đánh giá vô công tác học tập phổ thông. Phương pháp giải dạng toán này bao gồm sở hữu 3 bước:

Bước 1: Tìm điểm xác lập $x_{0}$ của hàm số đề bài bác. Tính độ quý hiếm f(m) với $m = x_{0}$

Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số đề bài bác bên trên $x_{0}$

Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên $x_{0}$ Lúc và chỉ Lúc $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Các em nằm trong xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số sau liên tiếp bên trên điểm x = 1

Giải:

Ta xét hàm số xác lập bên trên x = 1 và f(x) = -3m . 1 - 1.

Tính số lượng giới hạn hàm số bên trên điểm x = 1

$\underset{x\rightarrow 1}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x^{2} - 3x + 2} = \underset{x\rightarrow 1}{lim}  \frac{(x -1)(5x - 2)}{(x - 1)(x - 2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{5x - 2}{x - 2}=-3$

Vậy, hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0}=1$ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow -3m -1 \Leftrightarrow m=-\frac{2}{3}$

Kết luận: $m=\frac{-2}{3}$ 

Ví dụ 2:

Giải:

Ta sở hữu $\underset{x\rightarrow -2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow -2^{+}}{lim}f(-2) \Leftrightarrow -2a - 1 = -11 \Leftrightarrow a=5$

Vậy độ quý hiếm a cần thiết thăm dò là 5.

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô thi công quãng thời gian và ôn tập luyện kiến thức và kỹ năng đạt 9+ ôn đua chất lượng nghiệp THPT

6.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập luyện xác định

Đối với những câu hỏi thăm dò ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một quãng hoặc một tập luyện xác lập ngẫu nhiên, học viên thực hiện tương tự động dạng 3. Điểm khác lạ độc nhất là ở dạng 3 tao thăm dò điểm thực hiện hàm số xác lập, còn với dạng này tao thăm dò khoảng chừng đoạn hoặc tập luyện thực hiện mang đến hàm số xác lập.

Xem thêm: Cấu trúc would you mind to V hay Ving? Cách dùng và ví dụ

Xét câu hỏi ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập luyện xác định:

Giải:

Tập xác lập của hàm số là R

Xét tình huống $x \neq 1$, hàm số sở hữu dạng $f(x)=\frac{2 - 7x + 5x^{2}}{x-1}$. f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập luyện xác lập là $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$ bởi vậy f(x) cũng liên tiếp bên trên khoảng chừng $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

Xét tình huống x = 1 thì tao sở hữu f(1) = -3m - 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{2 - 7x +5x^{2}}{x-1}=\underset{x\rightarrow 1}{lim} \frac{(x-1)(5x - 2)}{x - 1}=3$

Khi ê, hàm f(x) liên tiếp bên trên điểm $x_{0} = 1$ Lúc và chỉ khi:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) \Leftrightarrow 3m - 1=3 \Leftrightarrow m=-\frac{4}{3}$ 

Kết luận: $m=-\frac{4}{3}$ 

Ví dụ 2: Tìm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên $[0;+\infty)$

$\left\{\begin{matrix}
\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}, & 0 < x < 9\\ 
 m,& x=0\\ 
 \frac{1}{18m},&x\geq 9 
\end{matrix}\right.$

Giải:

6.5. Dạng 5: Ứng dụng tính liên tiếp của hàm số nhằm minh chứng phương trình sở hữu nghiệm 

Ta nằm trong xét những ví dụ tại đây nhằm hiểu về kiểu cách phần mềm tính liên tiếp của hàm số minh chứng phương trình sở hữu nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình $3x^{3} + 2x - 2 = 0$ sở hữu nghiệm vô (0; 1).

Giải:

Hàm số đề bài bác là hàm nhiều thức, cho nên vì thế f(x) liên tiếp bên trên R. Suy đi ra, f(x) cũng liên tiếp bên trên đoạn [0;1].

Ta có:

f(0) . f(1) = (-2) . (3) = -6 < 0

Do vậy, sở hữu tối thiểu một số c vô (0; 1) sao mang đến f(c) = 0. Hay rằng cách thứ hai, phương trình f(x) = 0 sở hữu tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (0; 1).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng, phương trình $2x^{3} - 6x^{2} + 5 = 0$ trong vòng (-1;3) sở hữu 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên R, vì thế f(x) liên tiếp bên trên những đoạn [-1;0], [0;2], [2;3].

Ta thấy: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1) . f(0) < 0

f(0) . f(2) < 0

f(2) . f(3) < 0

Vì vậy, phương trình đề bài bác sở hữu nghiệm trong số khoảng chừng (-1;0),(0;2) và (2;3).

Từ ê tao rất có thể Kết luận phương trình sở hữu 3 nghiệm phân biệt trong vòng (-1; 3).

6.6. Dạng 6: Sử dụng tính liên tiếp nhằm xét vết hàm số

Khi xét vết hàm số sở hữu vận dụng tính liên tiếp của hàm số, học viên cần dùng kết quả: “Nếu hàm số hắn = f(x) là hàm liên tiếp và ko triệt tiêu xài bên trên [a;b] thì Lúc ê sở hữu vết chắc chắn bên trên (a;b)”

Xét những ví dụ sau:

Ví dụ: Xét vết của hàm số sau: $f(x)= \sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} - \sqrt{1-2x}$

Giải:

7. Một số bài bác tập luyện về hàm số liên tiếp kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên và cách thức giải

Để thạo những dạng bài bác tập luyện hàm số liên tiếp, những em học viên nằm trong vuihoc giải những bài bác tập luyện rèn luyện sau đây!

Bài 1: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên điểm x = 0

Giải:

Hàm số đề bài bác xác lập bên trên x = 0 và f(0) = 2

Xét số lượng giới hạn trái ngược bên trên điểm x = 0:

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x + \frac{1}{4})=\frac{1}{4}$

Xét số lượng giới hạn nên bên trên x=0:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \frac{\sqrt{x + 4}-2}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x + 4}-2}{(\sqrt{x+4})^{2}-4}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}=$

Xét thấy, $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$ nhưng lại không giống f(0). Do ê, hàm số ko liên tiếp bên trên x=0

Bài 2: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

Giải:

Trường hợp ý x < 0: f(x) = 2x - một là hàm số liên tục

Trường hợp ý x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tục

Từ ê suy đi ra, tao chỉ xét tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là rất có thể Kết luận tính liên tiếp của hàm số đề bài bác.

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} \sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} (2x - 1)= -1$

Xét thấy $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim} f(x)=f(0) \neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim} f(x)$. Do ê, hàm số loại gián đoạn bên trên điểm x = 0.

Kết luận: hàm số ko liên tiếp bên trên tập luyện xác lập.

Bài 3: Chứng minh phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ luôn luôn tồn bên trên nghiệm vô $[0; \frac{1}{3}]$ với từng $a \neq 0$ và vừa lòng ĐK 2a + 6b + 19c = 0

Giải:

Bài 4: Tìm độ quý hiếm a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên x = 2

Giải:

Bài 5: Hàm số f(x) tại đây liên tiếp bên trên R Lúc nào?

$y = f(x) = \left\{\begin{matrix}
2x + 3 & Lúc \, x\geq 1\\ 
m + 2 & Lúc \, x < 1 
\end{matrix}\right.$

Giải:

Dễ thấy hàm số tiếp tục mang đến liên tiếp với từng x không giống 1

Vì vậy nhằm hàm số liên tiếp bên trên $\mathbb{R}$ thì $\underset{x\rightarrow 1^{+}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow 1^{-}}{lim} f(x) =  f(1) \Leftrightarrow 5 = m + 2 \Leftrightarrow m=3$

Vậy với m = 3 thì hàm số tiếp tục mang đến liên tiếp trên $\mathbb{R}$

Bài ghi chép bên trên trên đây tiếp tục tổ hợp toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài bác tập luyện cơ phiên bản của hàm số liên tục trong công tác toán lớp 11. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục nắm rõ khái niệm và những ấn định lý nhằm vận dụng thực hiện bài bác tập luyện. Để học tập thêm thắt nhiều kiến thức và kỹ năng Toán trung học phổ thông có ích, những em hãy nhớ là truy vấn Vuihoc.vn hoặc contact trung tâm tương hỗ nhằm ngỏ đi ra cánh cổng học thức đoạt được kỳ đua trung học phổ thông Quốc gia tới đây nhé!

Bài ghi chép rất có thể tìm hiểu thêm thêm:

Xem thêm: Những màn cosplay tuyệt đỉnh từ làng gái xinh, khiến fan nam vừa xem đã “mất trí nhớ luôn về bản gốc

Giới hạn của mặt hàng số

Giới hạn của hàm số

Định nghĩa và chân thành và ý nghĩa của đạo hàm